На главную



Замок короля
Словарь терминов логики
А Б В Г Д З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Ц Ч Э Ю Я
алгебра буля

исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические методы для решения логических задач и сформулировал на языке алгебры некоторые фундаментальные законы мышления.
Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,...). Основными операциями в А. Б. являются: сложение классов AE.B; умножение классов АCВ; дополнение класса А\'. Свойства этих операций описываются следующими аксиомами:
la. AE(BEC)=(AEB) EC - ассоциативность сложения;
16. AC(BCC)= (ACВ) EC - ассоциативность умножения;
2a.AEB= BEA - коммуникативность сложения;
2б.АCВ =ВCА - коммуникативность умножения;
3a.AE(ВCС)= =(AEB) C(AEC) - дистрибутивность сложения относительно умножения;
36.AC(BEC)==(ACB) E(ACC) - дистрибутивность умножения относительно сложения.
В А. Б. существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми
подчиняются следующим соотношениям:
AE0=A;
AC1=A;
AEA\'=1;
ACA\'=0.
Характерная особенность А.Б. заключается в том, что в ней отсутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А
равна А: АEА=А, а не 2А, как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A: АCА=А, а не A2.
Важным законом А. Б. является принцип двойственности, согласно которому если в некотором справедливом равенстве мы заменим все вхождения E на C и C на E, 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедливое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы.
А.Б. широко применяется при проектировании и проверке электрических схем, в которых используются реле, работающие по принципу "да - нет", при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современной математической логике этот раздел значительно усовершенствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказываний и т. п. В области традиционной логики соотношения А. Б. часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий.


Оригинал статьи 'алгебра буля' на сайте Словари и Энциклопедии на Академике