На главную



Математическая энциклопедия
" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я
ЭЙЛЕРА - МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА

формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:

где - Бернулли числа, Rn - остаточный член. С помощью Бернулли многочленов Bn(t), В n(0) п остаточный член записывается в виде:

Для n=2sостаточный член R2s может быть представлен с использованием чисел Бернулли:

Если производные и имеют одинаковые знаки и не меняют знака на [ р, т],то

Если, кроме того,

то Э.-М. ф. может быть записана в виде:

В такой форме Э. - М. ф. применяется, напр., при выводе Стирлинга формулы. В этом случае и с - Эйлера постоянная. Имеются обобщения Э. - М. ф. на случай кратных сумм.
Э.-М. ф. применяется для приближенного вычисления определенных интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Напр., при т=1, р=0, п=2т+1, Э.-М. ф. дает следующее выражение:

Э.-М. ф. играет важную роль при изучении асимптотич. разложений, в теоретико-числовых оценках, в конечных разностей исчислении.
Э.-М. ф. иногда применяется в виде:

Э.-М. ф. была впервые приведена Л. Эйлером [1] в виде:

где S - сумма первых членов ряда с общим членом t(п), S=t=0 при n=0, а коэффициенты определяются рекуррентными соотношениями:


Независимо формула была открыта позднее К. Маклореном [2].

Лит.:[1] Еnlеr L., лComment Acad. sci. Imp. Petrop.

Оригинал статьи 'ЭЙЛЕРА - МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА' на сайте Словари и Энциклопедии на Академике